题目描述

简单的题目,既是礼物,也是毒药。

B 君设计了一道简单的题目,准备作为 gift 送给大家。

输入一个长度为 $ n $ 的数列 $ a_1, a_2 , \dots, a_n $ 问有多少个长度大于等于 $ 2 $ 的不上升的子序列 $ a_{b_1}, a_{b_2}, \ldots, a_{b_k} $ 满足

$$ \prod\limits_{i = 2} ^ k \binom{a_{b_{i – 1}}}{a_{b_i}} \bmod 2 = \binom{a_{b_1}}{a_{b_2}} \times \binom{a_{b_2}}{a_{b_3}} \times \cdots \times \binom{a_{b_{k – 1}}}{a_{b_k}}\bmod 2 > 0 $$

输出这个个数对 $ 1000000007 $ 取模的结果。

G 君看到题目后,为大家解释了一些基本概念。

我们选择任意多个整数 $ b_i $ 满足

$$ 1 \leq b_1 < b_2 < \cdots < b_{k – 1} < b_k \leq n $$

我们称 $ a_{b_1}, a_{b_2}, \ldots, a_{b_k} $ 是 $ a $ 的一个子序列。

如果这个子序列同时还满足

$$ a_{b_1} \geq a_{b_2} \geq \ldots \geq a_{b_k} $$

我们称这个子序列是不上升的。

组合数 $ \binom{n}{m} $ 是从 $ n $ 个互不相同的元素中取 $ m $ 个元素的方案数,具体计算方法如下:

$$ \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n – m)!} = \frac{n \times (n – 1) \times \cdots \times 2 \times 1}{(m \times (m – 1) \times \cdots \times 2 \times 1)((n – m) \times (n – m – 1) \times \cdots \times 2 \times 1)} $$

这里要特别注意,因为我们只考虑不上升子序列,所以在求组合数的过程中,一定满足 $ n \geq m $,也就是 $ \binom{a_{b_{i – 1}}}{a_{b_i}} $ 中一定有 $ a_{b_{i – 1}} \geq a_{b_i} $。

我们在这里强调取模 $ x \bmod y $ 的定义:

$$ x \bmod y = x – \lfloor \frac{x}{y} \rfloor \times y $$

其中 $ \lfloor n \rfloor $ 表示小于等于 $ n $ 的最大整数。

$ x \bmod 2 > 0 $,就是在说 $ x $ 是奇数。

与此同时,经验告诉我们一个长度为 $ n $ 的序列,子序列个数有 $ O(2 ^ n) $ 个,所以我们通过对答案取模来避免输出过大。

B 君觉得 G 君说的十分有道理,于是再次强调了这些基本概念。
最后,G 君听说这个题是作为 gift 送给大家,她有一句忠告。
“Vorsicht, Gift!”
‘‘小心. . . . . . 剧毒!”

精简题面

思路

代码