Borůvka 算法是一种计算图最小生成树的贪心算法，于 1926 年被 Otakar Borůvka [https://en.wikipedia.org/wiki/Otakar_Bor%C5%AFvka] 首次发表。 基本原理 首先，我们会找到图上每个节点到其他节点的最短边，然后把这些边加入森林中。我们不断重复这个过程，即每次给森林中每棵树找到连接其他树的最短边，然后将这样的边加入森林。 每次操作会减少森林中树的数量至少一半，于是我们可以在对数次操作内完成这个算法。 均摊复杂度为 $\Theta((n+m)\log n)$。 典型例题 对于大多数的图，Kruskal 和 Prim 已经非常优秀了。这里我们给出一个特殊情况，在这种情况下 Borůvka 的效率比前两者高得多。 > 给定 $n$ 个二维平面内的点，两点之间边权为两点的曼哈顿距离，求这些点的最大生成树大小。 在这里，图中边的数量达到了 $n^…
在图论中，一张无向图的线图是能体现其连边状态的一种生成图。有关线图的中文资料很少，但有关它的外文资料非常丰富。在这篇文章中，我将简单介绍线图的定义，以及提出计算线图最小生成树大小的一种方法。 Formal definition 给定一张无向图 $G$，它的线图 $L(G)$ 满足以下条件 * $L(G)$ 中的每个节点表示 $G$ 中的一条边； * $L(G)$ 中两个节点之间连边，当且仅当它们代表的边在 $G$ 中有公共点。 Example 下面展示了一张图（蓝色节点）和它的线图（绿色节点），线图上每个节点标出了原图上边两个端点的编号。 Minimum spanning tree 现在我们有一张无向图 $G$ 和它的线图 $L(G)$。如果我们我们把图 $G$ 的点和边都赋上权值，在 $L(G)$ 中，我们可以认为点权为原图中对应边的边权，边权为原图中对应公共点的点权。 我们解决这个问题的思路都基于…
概念 快速沃尔什变换是一种类似 FFT，用来加速逻辑位运算卷积的算法。具体地，它被设计为用来解决以下问题： $$C_k=\sum_{i\oplus j=k}a_i\times b_j$$ 其中，$\oplus$ 表示位运算 $\lor, \wedge, \veebar$。直接枚举 $i,j$ 的复杂度是 $\Theta(n^2)$，FWT 能加速这个过程到 $\Theta(n\log n)$。 原理 前面说到它类似 FFT，因为它们都是通过先做一个变换，相乘，然后逆变换得到结果的，而变换的过程都是折半、分治。 我们定义变换为 $tf$，有 $$tf(C)…
概述 我们可以使用傅里叶变换来快速计算卷积。然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，我们必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大。 这个问题可以用数论变换解决。在模意义下，一些整数可以发挥单位复根的作用，使我们更精确地计算只有整数参加的卷积运算结果。 原根 概念 在 $FFT$ 中，我们利用了单位复根的以下性质： 1. $\omega_n^k$ 互不相同； 2. $\omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k$； 3. $\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k$ 4. 当 $k \neq 0$ 时，$1+\omega_n^k+(\omega_…
> 这篇文章将提出 回文树 的概念，一种解决回文串相关问题的优美数据结构。 感谢它的发明者 Mikhail Rubinchik [http://codeforces.ru/profile/MikhailRubinchik]，在 Petrozavodsk Summer Camp 2014 中向我们讲述了这一概念，使得这篇文章的创作成为可能。 结构 和其他所有树形结构一样，回文树由节点构成。在这里，每个节点代表了一个回文串。 四节点回文树的样例在节点之间有边相连。一条从 $u$ 连至 $v$ 的树边上会标有一个字母 $x$，表示在 $u$ 处的回文串左右加上一个 $x$ 得到 $v$ 处的回文串。 ‘aba’ 由 ‘b’ 在左右两边各添加一个 ‘a’ 得来同时也存在着一些非树边，我们称之为 $fail$ 指针。从 $u$ 指向…
定义 当我们提到 “Treap” 的时候，我们实际上说的是 “Tree” + “Heap”。Treap 的每个节点拥有两个值：”Key” 和 “Val”。其中 “Key” 满足堆的性质，而 “Val” 满足二叉搜索树的性质。 朴素的 Treap 在插入的时候给每个点一个随机的 Key，通过旋转来满足堆的性质。对于 FHQTreap，我们不再使用旋转维护，转而使用拆分和合并。 核心操作 拆分 我们将一个 Treap 按特定的值 Val 拆分成两个 Treap – 左树和右树，使得左树的所有值小于等于 Val，而右树的所有值大于 Val。 void split(int now,int &a,int &b,int val)…
The red figure is the Minkowski sum of blue and green figures. ©Wikipedia概念 闵可夫斯基和是两个欧几里得空间的点集的和，以德国数学家闵可夫斯基命名。我们这样定义点集 $A$ 和 $B$ 的闵可夫斯基和： $$A+B=\{a+b \ | \ a \in A,b \in B \}$$ 类似地，闵可夫斯基差可以被定义为： $$A-B=\{c \ | \ c +B \subseteq A\} $$ 计算方法 考虑点集 $A + B$ 的凸包上的每一个点 $c = a + b$，那么 $a$ 一定位于 $A$…
> 12/20/2018 重写。 概述 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种可在 $\Theta(n \log n)$ 时间内完成的离散傅里叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）算法。 这篇文章将简单地讲解它的工作原理，以及使用 C++ 的代码实现。 基本概念 多项式 在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。 系数表示 设 $A(x)$ 表示一个 $n-1$ 次多项式，所有项系数组成的 $n$ 维向量 $(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})$ 唯一确定了这个多项式。…