【十二省联考 2019】Day 1 / 2 题解

Intro 跑去上海打了这两场考试,结果惨不忍睹 (╯‵□′)╯︵┻━┻ 所以我取消了最近几天的行程专心写题 _(:з)∠)_ 本文缓慢更新,一些神仙题可能我一辈子都改不出来。 由于洛谷的新版界面丑陋不堪,除非迫不得已,将不提供洛谷的原题链接。 Day 1 异或粽子 简述题意 给定一个数列,求前 $k$ 大的区间异或值的和。 吐槽 它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。 这句话被我理解成了 “不希望用同样的馅儿 的集合”,以至于我认为所有集合是互斥的。成功爆零。 思路 我们对这个数列做一下前缀异或,令得到的数列为 $s$,问题实际上就是求 $k$ 个数对 $(i,j),1\le i\le j \leq n$,使得 $s[i-1] \ \text{xor} \ s[j]…

【Note】Splay / 文艺平衡树

定义 Splay 是一种可以自我调节的二叉搜索树。它在 $\Theta(\log n)$ ​ 的均摊时间内执行基本操作,例如插入,查找和删除。对于许多非随机操作序列,Splay 比其他搜索树表现更好。 核心操作 我们提到 Splay 可以 “自我调节”,这一性质使得它能维持树形结构,保证复杂度。自我调节分为两部分:旋转 (rotate),以及伸展 (splay)。 旋转 伸展 实际运用 作为二叉搜索树,它能完成所有二叉搜索树都能完成的基本操作。当然,它也可以作为区间树完成诸如区间翻转的操作,正是这一性质使得它可以作为 Link Cut Tree 的辅助树。 代码 普通平衡树 您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作: 插入 $x$ 数删除 $x$ 数(若有多个相同的数,因只删除一个)…

【笔记】Dirichlet 相关

Dirichlet Convolution Definition $$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum_{xy=n}f(x)g(y)$$ Example $\sigma_0=1*1$$\sigma_1=I*1$$I=\varphi*1$$\epsilon(n)=\mu*1$ Property 交换律:$f*g=g*f$结合律:$(f*g)h=f(g*…

【笔记】简单数论函数集合

Intro 咕了一年的集合。NOIp 内容。 (实际上只讲了两个函数) 常见数论函数 $\epsilon(n)=[n=1]$$1(n)=1$$id_k(n)=n^k$$I(n)=id_1(n)=n$$\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k$$\varphi(n)$$\mu(n)$ 欧拉函数 $\varphi(n)$ Definition $\varphi(n)$ 等于小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数个数,即 $$\varphi(…

【歌单】Frustrated

还有什么能够盛开 你知道我一直很乖 我们的过去是一片稻田 还有什么值得期待 mama don’t let me down mama go with the wind 蒲公英和炊烟都在等你 你的孩子一直很乖 mama don’t let me down mama go with the wind 蒲公英和炊烟都在等你 你的孩子一直很乖…

【UOJ Round #6】懒癌 / 题解

题目描述 当地共有 $2^n−1$ 个村庄,每个村庄住着 $n$ 户人家,门牌号分别为 $1,2,…,n$,每户人家家里养着一条狗。恰逢无药可治的懒癌流行,人人自危。每个村庄都有至少一只狗得了懒癌。一个村庄中,门牌号为 $i$ 的人家的狗要么得懒癌,要么不得懒癌,一共 $2^n$ 种情况,再去掉都没得懒癌的情况,一共 $2^n−1$ 种。这每种情况都会发生在恰好一个村庄中。 这天来了个善良的人来到每个村庄中,告诉所有人一个爆炸性的新闻:“你们村里至少有一只狗得了懒癌!” 每个村庄中每户人家都不知道自己的狗到底是懒癌还是可爱,但是他能一眼看出某些人家的狗有没有得懒癌。由于这个社会里人与人之间的信任已经崩塌,一个人即使看出别人的狗是否得懒癌也不愿告诉他。 可以用一个 $n$ 个结点的有向图来描述可见性,$v$ 到 $u$ 有一条有向边表示门牌号为 $v$ 的人家能看出门牌号为 $u$…

【HNOI 2016】序列 / 题解

题目描述 给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$,每次询问 $[l,r]$ 内所有连续子区间的区间最小值。 思路 我们分别讲解如何使用离线 / 在线算法解决本题。 离线 / 莫队 使用莫队将问题离线后,我们需要思考如何从 $[l,r-1]$ 的答案推至 $[l,r]$ 的答案。 首先,我们知道一共新增了 $r-l+1$ 个,以 $r$ 为右端点的区间。如果将 $[l,r]$ 中区间最小值的位置记为 $p$,这些区间可以根据是否包含 $p$ 划分为两部分:对于包含 $p$ 的那 $p-l+1$ 个区间,显然它们对答案的贡献都等于 $a[p]$。 对于剩下的 $r-p$ 的区间,…