【笔记】有向图邻接矩阵幂敛指数及其周期的一种可行性算法

引入 一个 $n$ 个点有向图的邻接矩阵 $A$ 是一个 $n$ 阶布尔矩阵,它的幂组成的序列具有周期性。 设 $k,d$ 是满足 $A^k=A^{k+d}$ 的最小正整数,则 $k$ 称为 $A$ 的幂敛指数(index),$d$ 称为 $A$ 的周期(period)。 对于如下邻接矩阵 $A$,其各次幂分别为 $$A^1 = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0…

【笔记】带通配符字符串匹配

题目描述 [https://www.luogu.org/problemnew/show/P4173] 给你两个带通配符的串 $A,B$。问 $B$ 中可以匹配多少个 $A$,并输出匹配的开头位置。 思路 我们在两个长度相同的字符串 $A, B$ 上定义 $f(A, B)=\sum_{i=0}^{n-1}(A_i – B_i)^2A_iB_i$。令通配符 * 为 0,当 $f(A,B)=0$ 时,$A = B$。 将 $f$ 展开得 $\sum_…

【十二省联考 2019】Day 1 / 2 题解

Intro 跑去上海打了这两场考试,结果惨不忍睹 (╯‵□′)╯︵┻━┻ 所以我取消了最近几天的行程专心写题 _(:з)∠)_ 本文缓慢更新,一些神仙题可能我一辈子都改不出来。 由于洛谷的新版界面丑陋不堪,除非迫不得已,将不提供洛谷的原题链接。 Day 1 异或粽子 [https://loj.ac/problem/3048] 简述题意 给定一个数列,求前 $k$ 大的区间异或值的和。 吐槽 > 它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。 这句话被我理解成了 “不希望用同样的馅儿 的集合”,以至于我认为所有集合是互斥的。成功爆零。 思路 我们对这个数列做一下前缀异或,令得到的数列为 $s$,问题实际上就是求 $k$ 个数对 $(i,j),1\le i\le j \leq n$,使得 $s[i-1] \ \text{…

【Note】Splay / 文艺平衡树

定义 Splay 是一种可以自我调节的二叉搜索树。它在 $\Theta(\log n)$ ​ 的均摊时间内执行基本操作,例如插入,查找和删除。对于许多非随机操作序列,Splay 比其他搜索树表现更好。 核心操作 我们提到 Splay 可以 “自我调节”,这一性质使得它能维持树形结构,保证复杂度。自我调节分为两部分:旋转 (rotate),以及伸展 (splay)。 旋转 伸展 实际运用 作为二叉搜索树,它能完成所有二叉搜索树都能完成的基本操作。当然,它也可以作为区间树完成诸如区间翻转的操作,正是这一性质使得它可以作为 Link Cut Tree 的辅助树。 代码 普通平衡树 [https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369] 您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作:…

【笔记】Dirichlet 相关

Dirichlet Convolution Definition $$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum_{xy=n}f(x)g(y)$$ Example * $\sigma_0=1*1$ * $\sigma_1=I*1$ * $I=\varphi*1$ * $\epsilon(n)=\mu*1$ Property * 交换律:$f*g=g*f$ * 结合律:$(f*g)h=f(g*…

【笔记】简单数论函数集合

Intro 咕了一年的集合。NOIp 内容。 (实际上只讲了两个函数) 常见数论函数 * $\epsilon(n)=[n=1]$ * $1(n)=1$ * $id_k(n)=n^k$ * $I(n)=id_1(n)=n$ * $\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k$ * $\varphi(n)$ * $\mu(n)$ 欧拉函数 $\varphi(n)$ Definition $\varphi(n)$ 等于小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数个数,即 $$\varphi(…

【歌单】Frustrated

> 还有什么能够盛开 你知道我一直很乖 我们的过去是一片稻田 还有什么值得期待 mama don’t let me down mama go with the wind 蒲公英和炊烟都在等你 你的孩子一直很乖 mama don’t let me down mama go with the wind 蒲公英和炊烟都在等你 你的孩子一直很乖…

【CodeChef April Challenge 2014】Final Battle of Chef / 题解

题目描述 [https://www.codechef.com/APRIL14/problems/FBCHEF] Chef declared war on Byteland. Chefs best scientist Pramod has designed a new Fighter Plane which can fly with Speed of Light!! So none of the defence forces of Byteland can defeat or defend it. Byteland has a structure of a tree…